대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 선분 길이

문제

그림과 같이 함수 $y = 2 ^{x}$ 의 그래프 위의 한 점 $A$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 함수 $y = 15 \cdot 2 ^{-x}$ 의 그래프와 만나는 점을 $B$ 라 하자. 점 $A$ 의 $x$ 좌표를 $a$ 라 할 때, $\displaystyle 1 < \overline{AB} < 100$ 을 만족시키는 $2$ 이상의 자연수 $a$ 의 개수는? [4점]

① $40$ ② $43$ ③ $46$ ④ $49$ ⑤ $52$

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④

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해설

$\displaystyle {\mathrm{\overline{AB}}} = a - k = a - ( - a + \log _{2} 15 ) = 2 a - \log _{2} 15$ $\displaystyle 1 < \mathrm{\overline{AB}} < 100$ 에서 $1 < 2 a - \log _{2} 15 < 100$ $1 + \log _{2} 15 < 2 a < 100 + \log _{2} 15$ $3 < \log _{2} 15 < 4$ 이므로 $4. \cdots < 2 a < 103. \cdots$ $2. \cdots < a < 51. \cdots$ 따라서, $a = 3 , 4 , 5 , \cdots , 51$ 즉, $49$ 개다.

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