지수함수 평면도 활용

다음은 어느 지역의 방음벽, 배수로, 도로를 나타낸 평면도이다. 평면도에서 방음벽을 $x$축, 방음벽과 수직으로 건설된 배수로를 $y$축으로 할 때, 도로의 중앙선은 곡선 $y = a ^{x} + 2 \left( a > 1 \right)$의 일부로 나타내어진다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{BC} = 2$를 만족시키는 $x$축 위의 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$를 지나고 $x$축에 수직인 세 직선을 그어 곡선 $y = a ^{x} + 2$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \frac{12}{5}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = \frac{9}{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = \mathit{h}$일 때, 상수 $h$의 값은? (단, 방음벽, 배수로, 도로의 중앙선의 폭은 무시한다.) [4점]

방음벽 도로 $\displaystyle \frac{12}{5}$ 호수 배수로

①$\displaystyle \frac{121}{8}$②$\displaystyle \frac{125}{8}$③$\displaystyle \frac{137}{8}$④$\displaystyle \frac{141}{8}$⑤$\displaystyle \frac{155}{8}$