지수함수 넓이 조건

두 함수 $f ( x ) = 2 ^{x} , g ( x ) = 2 ^{x - 2}$의 그래프는 다음과 같다.

세 영역 $R _{1} , R _{2} , R _{3}$의 넓이를 각각 $S _{1} , S _{2} , S _{3}$이라 하자. 함수 $g ( x )$의 그래프는 함수 $f ( x )$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 것이므로 $S _{1} = S _{3}$ 조건 (가)에서 $S _{1} + S _{2} = S _{3} + S _{2} = 2 \times ( b - a ) = 6$ $b - a = 3$ $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 $f ^{- 1} ( a ) = p$, $g ^{- 1} ( b ) = q$ ($p , q$는 실수)라 하면 $2 ^{p} = a , 2 ^{q - 2} = b$ $p = \log _{2} a , q = \log _{2} b + 2 = \log _{2} 4 b$ $\displaystyle q - p = \log _{2} 4 b - \log _{2} a = \log _{2} \frac{4 b}{a} = \log _{2} 6$ $3 a = 2 b$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $a = 6 , b = 9$ $\therefore a + b = 15$