미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 미분가능

문제

함수 f(x)={(3x+1)ex(x≤0)ax+1(x>0)\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \left( 3 x + 1 \right) e ^{x} _{{}_{}} & \left( x \leq 0 \right) \\ ax + 1 ^{{}^{}} & \left( x > 0 \right) ^{{}^{}} \end{cases}}이 x=0x = 0에서 미분가능할 때, 상수 aa의 값은? [3점] ①11②44③77④1010⑤1313

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②

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해설

[출제의도] 지수함수의 미분 이해하기 lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=f(0)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {f \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {f \left( x \right)} = f \left( 0 \right) = 1이므로 함수 f(x)f \left( x \right)는 x=0x = 0에서 연속이다. lim⁡h→0−f(0+h)−f(0)h\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{f \left( 0 + h \right) - f \left( 0 \right)}{h}}=lim⁡h→0−(3h+1)eh−1h\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{\left( 3 h + 1 \right) e ^{h} - 1}{h}} =lim⁡h→0−(3h+1)(eh−1)+3hh\displaystyle = \lim\limits _{h \rightarrow 0 -} {\frac{\left( 3 h + 1 \right) \left( e ^{h} - 1 \right) + 3 h}{h}}=1+3=4= 1 + 3 = 4 lim⁡h→0+f(0+h)−f(0)h=lim⁡h→0+ah+1−1h=a\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{f \left( 0 + h \right) - f \left( 0 \right)}{h}} = \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} {\frac{ah + 1 - 1}{h}} = a 따라서 a=4a = 4

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#미분가능성#지수함수의 극한

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