대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 직사각형

문제

실수 tt에 대하여 직선 x=tx = t가 곡선 y=32−x+8y = 3 ^{2 - x} + 8과 만나는 점을 A\mathrm{A}, xx축과 만나는 점을 B\mathrm{B}라 하자. 직선 x=t+1x = t + 1이 xx축과 만나는 점을 C\mathrm{C}, 곡선 y=3x−1y = 3 ^{x - 1}과 만나는 점을 D\mathrm{D}라 하자. 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}가 직사각형일 때, 이 사각형의 넓이는? [3점] ①99②1010③1111④1212⑤1313

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①

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 문제를 해결한다. 점 A\mathrm{A}의 좌표는 (t,32−t+8)( t , 3 ^{2 - t} + 8 ), 점 B\mathrm{B}의 좌표는 (t,0)( t , 0 ), 점 C\mathrm{C}의 좌표는 (t+1,0)( t + 1 , 0 ), 점 D\mathrm{D}의 좌표는 (t+1,3t)( t + 1 , 3 ^{t} ) 사각형 ABCD\mathrm{ABCD}가 직사각형이므로 점 A\mathrm{A}의 yy좌표와 점 D\mathrm{D}의 yy좌표가 같아야 한다. 즉, 32−t+8=3t3 ^{2-t} + 8 = 3 ^{t} (3t)2−8×3t−9=0( 3 ^{t} ) ^{2} - 8 \times 3 ^{t} - 9 = 0, (3t+1)(3t−9)=0\left( 3 ^{t} + 1 \right) \left( 3 ^{t} - 9 \right) = 0 그런데 3t>03 ^{t} > 0이므로 3t=93 ^{t} = 9에서 t=2t = 2 그러므로 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 가로의 길이는 11이고 세로의 길이는 323 ^{2}=9= 9 따라서 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD}의 넓이는 99

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#지수함수#지수방정식

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