지수함수 정사각형

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 문제해결하기 정사각형 $\mathrm{ACDB}$의 한 변의 길이가 $4$이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$의 $x$좌표를 $t$라 하면 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$의 $x$좌표는 $t + 4$이다. 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$의 $y$좌표가 각각 $a ^{t}$, $b ^{t + 4}$, $b ^{t}$, $c ^{t + 4}$이므로 $a ^{t} = 8$, $b ^{t + 4} = 8$, $b ^{t} = 4$, $c ^{t + 4} = 4$이다. $b ^{t + 4} = 8$, $b ^{t} = 4$에서 $4 b ^{4} = 8$ $\therefore$$\displaystyle b = 2 ^{\frac{1}{4}}$ $b ^{t} = 4$에서 $\displaystyle \left( 2 ^{\frac{1}{4}} \right) ^{t} = 4$ $\therefore$$t = 8$ $a ^{t} = 8$에서 $a ^{8} = 8$ $\therefore$$\displaystyle a = 2 ^{\frac{3}{8}}$ $c ^{t + 4} = 4$에서 $c ^{12} = 4$ $\therefore$$\displaystyle c = 2 ^{\frac{1}{6}}$ $\displaystyle abc = 2 ^{\frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}} = 2 ^{\frac{19}{24}}$ 따라서 $p = 24$, $q = 19$이고 $p + q = 43$