공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 점 역행렬

문제

[10 ~ 11] 그림과 같이 곡선 y=2xy = 2 ^{x}이 두 직선 x=1x = 1, x=2x = 2와 만나는 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 하고, 곡선 y=(12)x\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}이 두 직선 x=1x = 1, x=2x = 2와 만나는 점을 각각 C\mathrm{C}, D\mathrm{D}라 하자. 1010번과 1111번의 두 물음에 답하시오.

네 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}, D\mathrm{D}의 yy좌표를 각각 aa, bb, cc, dd라 하고 이를 성분으로 하는 행렬을 P=P =(abcd)\displaystyle {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}라 하자. 행렬 PP의 역행렬 P−1P ^{- 1}의 모든 성분의 합은? [3점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}②22③52\displaystyle \frac{5}{2}④33⑤72\displaystyle \frac{7}{2}

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①

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해설

[출제의도] 지수함수를 활용하여 조건에 맞는 행렬을 찾아 역행렬을 구한다. A(1,2)\mathrm{A} ( 1 , 2 ), B(2,4)\mathrm{B} ( 2 , 4 ), C(1,12)\displaystyle \mathrm{C} \left( 1 , \frac{1}{2} \right), D(2,14)\displaystyle \mathrm{D} \left( 2 , \frac{1}{4} \right)이므로 a=2a = 2, b=4b = 4, c=12\displaystyle c = \frac{1}{2}, d=14\displaystyle d = \frac{1}{4} 행렬 P=(241214)\displaystyle P = {\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}}이므로 P−1=112−2(14−4−122)\displaystyle P ^{- 1} = \frac{1}{\frac{1}{2} - 2} {\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & - 4 \\ - \frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}}=−23(14−4−122)\displaystyle = - \frac{2}{3} {\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & - 4 \\ - \frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}}=(−168313−43)\displaystyle = {\begin{pmatrix} - \frac{1}{6} & \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} \end{pmatrix}} 따라서 P−1P ^{-1}의 모든 성분의 합은 −16+83+13−43=32\displaystyle - \frac{1}{6} + \frac{8}{3} + \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = \frac{3}{2}

태그

#역행렬#지수함수

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