공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 점 역행렬

문제

[12 ~ 13] 그림과 같이 곡선 $y = 2 ^{x}$ 이 두 직선 $x = 1$ , $x = 2$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 라 하고, 곡선 $\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}$ 이 두 직선 $x = 1$ , $x = 2$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 라 하자. $12$ 번과 $13$ 번의 두 물음에 답하시오.

네 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 의 $y$ 좌표를 각각 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 라 하고 이를 성분으로 하는 행렬을 $P =$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$ 라 하자. 행렬 $P$ 의 역행렬 $P ^{- 1}$ 의 모든 성분의 합은? [3점] ① $\displaystyle \frac{3}{2}$ ② $2$ ③ $\displaystyle \frac{5}{2}$ ④ $3$ ⑤ $\displaystyle \frac{7}{2}$

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①

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해설

[출제의도] 지수함수를 활용하여 조건에 맞는 행렬을 찾아 역행렬을 구한다. $\mathrm{A} ( 1 , 2 )$ , $\mathrm{B} ( 2 , 4 )$ , $\displaystyle \mathrm{C} \left( 1 , \frac{1}{2} \right)$ , $\displaystyle \mathrm{D} \left( 2 , \frac{1}{4} \right)$ 이므로 $a = 2$ , $b = 4$ , $\displaystyle c = \frac{1}{2}$ , $\displaystyle d = \frac{1}{4}$ 행렬 $\displaystyle P = {\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}}$ 이므로 $\displaystyle P ^{- 1} = \frac{1}{\frac{1}{2} - 2} {\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & - 4 \\ - \frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = - \frac{2}{3} {\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & - 4 \\ - \frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle = {\begin{pmatrix} - \frac{1}{6} & \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} \end{pmatrix}}$ 따라서 $P ^{-1}$ 의 모든 성분의 합은 $\displaystyle - \frac{1}{6} + \frac{8}{3} + \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = \frac{3}{2}$

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