지수함수 교점으로 만든 삼각형 넓이

곡선 $\displaystyle y = a ^{x} - \frac{1}{2}$이 $x$축과 만나는 점의 $y$좌표는 $0$이므로 $\displaystyle 0 = a ^{x} - \frac{1}{2}$ 에서 $\displaystyle a ^{x} = \frac{1}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle x = \log _{a} \frac{1}{2} = - \log _{a} 2$ 즉 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\left( - \log _{a} 2 , 0 \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AO}}} = \left| - \log _{a} 2 \right| = \log _{a} 2$ 한편 점 $\mathrm{B}$는 두 곡선 $\displaystyle y = a ^{x} - \frac{1}{2}$, $\displaystyle y = \left( \frac{1}{a} \right) ^{x} + 1$이 만나는 교점이므로 $a ^{x} = t \left( t > 0 \right)$로 놓으면 $\displaystyle y = a ^{x} - \frac{1}{2} = t - \frac{1}{2}$, $\displaystyle y = \left( \frac{1}{a} \right) ^{x} + 1 = \frac{1}{a ^{x}} + 1 = \frac{1}{t} + 1$ 에서 $\displaystyle t - \frac{1}{2} = \frac{1}{t} + 1$, $2 t ^{2} - t = 2 + 2 t$ $2 t ^{2} - 3 t - 2 = 0$, $\left( 2 t + 1 \right) \left( t - 2 \right) = 0$ $\therefore$ $t = 2 \left( \because t > 0 \right)$ 즉 $a ^{x} = 2$에서 $x = \log _{a} 2$이고 $\displaystyle y = a ^{x} - \frac{1}{2}$에 $a ^{x} = 2$를 대입하면 $\displaystyle y = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{B} \left( \log _{a} 2 , \frac{3}{2} \right)$ 이때 점 $\mathrm{B}$와 $x$축 사이의 거리가 $\displaystyle \frac{3}{2}$이고 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이가 $\displaystyle \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \times {\overline{AO}} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{4}$ 에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \log _{a} 2 \right) \times \frac{3}{2} = \frac{1}{4}$, $\displaystyle \log _{a} 2 = \frac{1}{3}$ $\displaystyle a ^{\frac{1}{3}} = 2$ $\therefore$ $a = 2 ^{3} = 8$