지수함수 교점 개수

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 추론하기 두 함수 $f _{1} ( x )$, $f _{2} ( x )$를 $f _{1} ( x ) = 2 ^{x + 3} + b$, $f _{2} ( x ) = 2 ^{- x + 5} + 3 b$라 하자. 함수 $y = f _{1} ( x )$는 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가하고, 함수 $y = f _{2} ( x )$는 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값은 감소한다. 또한 두 함수 $y = f _{1} ( x )$, $y = f _{2} ( x )$의 그래프의 점근선이 각각 $y = b$, $y = 3 b$이므로 $\left\{ f _{1} ( x ) | x \leq a \right\} = \left\{ y | b < y \leq 2 ^{a + 3} + b \right\}$, $\left\{ f _{2} ( x ) | x > a \right\} = \left\{ y | 3 b < y < 2 ^{- a + 5} + 3 b \right\}$ $2 ^{a + 3} + b$와 $3 b$, $2 ^{- a + 5} + 3 b$의 대소관계에 따라 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) $2 ^{a + 3} + b < 3 b$일 때 $2 ^{a + 3} + b < t < 3 b$인 모든 실수 $t$에 대하여 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$는 만나지 않으므로 조건을 만족시키는 실수 $k$의 최댓값은 $4 b + 8$이 아니다. (ⅱ) $2 ^{a + 3} + b = 3 b$일 때 $b < t < 2 ^{- a + 5} + 3 b$인 모든 실수 $t$에 대하여 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수는 $\mathrm{1}$이다. 또한 $t \geq 2 ^{- a + 5} + 3 b$인 모든 실수 $t$에 대하여 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$는 만나지 않는다. (ⅲ) $2 ^{a + 3} + b > 3 b$일 때 (a) $2 ^{a + 3} + b \leq 2 ^{- a + 5} + 3 b$일 때 $3 b < t < 2 ^{a + 3} + b$인 모든 실수 $t$에 대하여 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수는 $\mathrm{2}$이므로 조건을 만족시키는 실수 $k$의 최댓값은 $4 b + 8$이 아니다. (b) $2 ^{a + 3} + b > 2 ^{- a + 5} + 3 b$일 때 $3 b < t < 2 ^{- a + 5} + 3 b$인 모든 실수 $t$에 대하여 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수는 $\mathrm{2}$이므로 조건을 만족시키는 실수 $k$의 최댓값은 $4 b + 8$이 아니다. 조건을 만족시키는 실수 $k$의 최댓값은 $4 b + 8$이므로 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $2 ^{a + 3} + b = 3 b$, $2 ^{- a + 5} + 3 b = 4 b + 8$이다. 두 식을 연립하여 계산하면 $2 ^{a} - 2 ^{- a + 3} + 2 = 0$ $\left( 2 ^{a} \right) ^{2} + 2 \times 2 ^{a} - 8 = 0$ $\left( 2 ^{a} + 4 \right) \left( 2 ^{a} - 2 \right) = 0$ $2 ^{a} > 0$이므로 $2 ^{a} = 2$, $a = 1$이고 $b = 8$ 따라서 $a + b = 9$