대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수함수 교점

문제

좌표평면 위의 두 곡선 $y = \left. 9 ^{x} - 3 \right.$ 과 $y = 2 ^{x + k}$ 이 만나는 서로 다른 두 점의 $x$ 좌표를 $x _{1}$ , $x _{2}$ $\left( x _{1} < x _{2} \right)$ 라 할 때, $x _{1} < 0$ , $0 < x _{2} < 2$ 를 만족시키는 모든 자연수 $k$ 의 값의 합은? [4점] ① $8$ ② $9$ ③ $10$ ④ $11$ ⑤ $12$

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②

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해설

$f ( x ) = \left. 9 ^{x} - 3 \right.$ 라 하고 $g ( x ) = 2 ^{x + k}$ 라 하면 $x < 0$ 에서 근을 갖기 위해서 $f ( 0 ) < g ( 0 )$ 이어야 하므로 $2 < 2 ^{k}$ 이고, $0 < x < 2$ 에서 근을 갖기 위해서 $f ( 2 ) > g ( 2 )$ 이어야 하므로 $78 > 2 ^{2 + k}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \therefore 2 < 2 ^{k} < \frac{78}{4} = \frac{39}{2} = 19.5$ 만족하는 $k$ 는 $2$ , $3$ , $4$ 이다. ∴ 모든 자연수의 합은 $9$ 이다.

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