지수함수 곡선과 수직선

[출제의도] 지수함수의 그래프를 활용하여 문제를 해결한다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} : {\overline{\mathrm{OB}}}$$\displaystyle = \sqrt{3} : \sqrt{19}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}}$$\displaystyle = \sqrt{3} k$($k > 0$)이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}}$$\displaystyle = \sqrt{19} k$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$$= 4 k$이다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 각각 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$, $\left( x _{2} , y _{2} \right)$라 하자. 직선 $\mathrm{OA}$와 $x$축이 이루는 예각의 크기가 $60 ^\circ$이므로 $x _{1}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{2} k$, $y _{1}$$\displaystyle = \frac{3}{2} k$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{A} \left( \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{2} k , \frac{3}{2} k \right)$ 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 직선 $\mathrm{AB}$와 $x$축이 이루는 예각의 크기가 $30 ^\circ$이다. $x _{2} - x _{1}$$= 4 k \cos 30 ^\circ$$\displaystyle = 2 \sqrt{3} k$에서 $x _{2}$$\displaystyle = x _{1} + 2 \sqrt{3} k$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{3}}{2} k$ $y _{2} - y _{1}$$= 4 k \sin 30 ^\circ$$= 2 k$에서 $y _{2}$$= y _{1} + 2 k$$\displaystyle = \frac{7}{2} k$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\mathit{3 \sqrt{3}}}{2} k , \frac{7}{2} k \right)$ 점 $\mathrm{A}$는 곡선 $y$$= a ^{- 2 x} - 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{3}{2} k$$\displaystyle = a ^{\sqrt{3} k} - 1$에서 $\displaystyle a ^{\sqrt{3} k}$$\displaystyle = \frac{3 k + 2}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{B}$는 곡선 $y$$= a ^{x} - 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{7}{2} k$$\displaystyle = a ^{\frac{3 \sqrt{3} k}{2}} - 1$에서 $\displaystyle a ^{\frac{3 \sqrt{3}}{2} k}$$\displaystyle = \frac{7 k + 2}{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \left( \frac{3 k + 2}{2} \right) ^{3}$$\displaystyle = \left( \frac{7 k + 2}{2} \right) ^{2}$ $27 k ^{3} - 44 k ^{2} - 20 k$$= 0$, $k \left( k - 2 \right) \left( 27 k + 10 \right)$$= 0$ $k > 0$이므로 $k$$= 2$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$$= 4 k$$= 8$