지수함수 그래프와 삼각형 넓이

곡선 $y = a ^{x} - 2$의 그래프는 다음 그림과 같다.

점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 $t$라 하면 $\mathrm{A} \mathit{\left( t , a ^{t} - 2 \right)}$, $\mathrm{B} \mathit{\left( t , 0 \right)}$ 함수 $y = a ^{x} - 2$의 그래프의 점근선이 $y = - 2$이므로 $\mathrm{C} \mathit{\left( t , - 2 \right)}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{BC} = 2$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 4$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = t$이므로 삼각형 $\mathrm{AOC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times t = 2 t$ 문제의 조건에서 넓이는 $8$이므로 $2 t = 8$ $\therefore$ $t = 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{BC}}}$에서 $a ^{t} - 2 = - \left( - 2 \right)$ $a ^{t} = 4$ $a ^{4} = 4$ ($\because$ ㉠) $\displaystyle a = 4 ^{\frac{1}{4}} = \left( 2 ^{2} \right) ^{\frac{1}{4}} = 2 ^{\frac{1}{2}}$ $\displaystyle a = 2 ^{\frac{1}{2}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}} = \mathit{t} = 4$이므로 $\displaystyle a \times {\overline{\mathrm{OB}}} = 2 ^{\frac{1}{2}} \times 4 = 2 ^{\frac{1}{2}} \times 2 ^{2} = 2 ^{\frac{5}{2}}$