지수함수 그래프와 비

[출제의도] 지수함수의 성질을 이해하여 문제를 해결한다. 곡선 $y = f ( x )$와 $y = h ( x )$는 $y$축 대칭이므로 $h \left( 2 \right) = f ( - 2 )$에서 점 $\mathrm{R}$의 $x$좌표는 $2$, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $- 2$이다. 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 $\alpha$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} : {\overline{QR}} = 2 : 1$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 2 {\overline{QR}}$이므로 $\alpha + 2 = 2 ( 2 - \alpha )$ ∴ $\displaystyle \alpha = \frac{2}{3}$ $g ( \alpha ) = 2$에서 $\displaystyle b ^{\frac{2}{3}} = 2$ ∴ $\displaystyle b = 2 ^{\frac{3}{2}}$ $g ( 4 ) = b ^{4}$$\displaystyle = \left( 2 ^{\frac{3}{2}} \right) ^{4}$$= 2 ^{6} = 64$ [다른 풀이] 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$의 $y$좌표는 모두 $2$이므로 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$의 $x$좌표는 각각 $- \log _{a} 2$, $\log _{b} 2$, $\log _{a} 2$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} : {\overline{\mathrm{QR}}} = 2 : 1$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 2 {\overline{QR}}$이므로 $\log _{b} 2 - ( - \log _{a} 2 ) = 2 \left( \log _{a} 2 - \log _{b} 2 \right)$ 양변을 밑이 $2$인 로그로 변환하면 $\displaystyle \frac{1}{\log _{2} a} = \frac{3}{\log _{2} b}$ $\log _{2} b = 3 \log _{2} a$$= \log _{2} a ^{3}$ ∴ $b = a ^{3}$ $h ( 2 ) = 2$에서 $a ^{2} = 2$ ∴ $\displaystyle a = \sqrt{2}$ (∵ $a > 1$) ∴ $\displaystyle b = a ^{3} = \left( \sqrt{2} \right) ^{3} = 2 \sqrt{2}$ 따라서 $\displaystyle g \left( x \right) = \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{x}$이다. ∴ $\displaystyle g ( 4 ) = \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{4} = \left( 2 ^{\frac{3}{2}} \right) ^{4} = 2 ^{6} = 64$