대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 그래프의 대칭

문제

두 지수함수 $f ( x ) = a ^{\mathrm{b}`\mathrm{x}-1}$ , $g ( x ) = a ^{1-\mathrm{b}`\mathrm{x}}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $y = f ( x )$ 의 그래프와 함수 $y = g ( x )$ 의 그래프는 직선 $x = 2$ 에 대하여 대칭이다. (나) $\displaystyle f ( 4 ) + g ( 4 ) = \frac{5}{2}$

두 상수 $a , b$ 의 합 $a + b$ 의 값은? (단, $0 < a < 1$ ) [3점] ① $1$ ② $\displaystyle \frac{9}{8}$ ③ $\displaystyle \frac{5}{4}$ ④ $\displaystyle \frac{11}{8}$ ⑤ $\displaystyle \frac{3}{2}$

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①

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해설

$f ( x ) = a ^{bx - 1}$ 의 그래프와 $g ( x ) = a ^{1 - bx}$ 의 그래프는 직선 $x = 2$ 에 대하여 대칭이므로 $f ( 2 ) = g ( 2 )$ 가 성립한다. 따라서, $a ^{2b-1} = a ^{1-2b}$ 에서 $2 b - 1 = 1 - 2 b$ , $4 b = 2$ ∴ $\displaystyle b = \frac{1}{2}$ $f ( 4 ) = g ( 0 )$ , $g ( 4 ) = f ( 0 )$ 이므로 $\displaystyle f ( 4 ) + g ( 4 ) = g ( 0 ) + f ( 0 ) = \frac{5}{2}$ $\displaystyle a + a ^{-1} = \frac{5}{2}$ $2 a ^{2} - 5 a + 2 = 0$ , $( a - 2 ) ( 2 a - 1 ) = 0$ $0 < a < 1$ 이므로 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ ∴ $\displaystyle a + b = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

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