대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 그래프 보기

문제

그림은 함수 f(x)=2x−1f ( x ) = 2 ^{x} - 1의 그래프와 직선 y=xy = x이다. 곡선 y=f(x)y = f ( x ) 위에 임의로 두 점을 잡아 그 두 점의 xx좌표를 각각 a,b(0<a<b)a , b ( 0 < a < b )라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. 0<a<10 < a < 1이면 f(a)<af ( a ) < a이다. ㄴ. b−a<2b−2ab - a < 2 ^{b} - 2 ^{a} ㄷ. b(2a−1)<a(2b−1)b ( 2 ^{a} - 1 ) < a ( 2 ^{b} - 1 )

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프와 직선의 기울기를 이용하여 부등식의 대소 관계를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. 곡선 y=f(x)y = f ( x )와 직선 y=xy = x는 점 (1,1)( 1 , 1 )에서 만나므로 아래 그림에서 0<a<10 < a < 1이면 f(a)<af ( a ) < a이고, a>1a > 1이면 f(a)>af ( a ) > a이다. (참)

ㄴ. 직선 AB\mathrm{AB}의 기울기는 f(b)−f(a)b−a=2b−1−(2a−1)b−a=2b−2ab−a\displaystyle \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = \frac{2 ^{b} - 1 - ( 2 ^{a} - 1 )}{b - a} = \frac{2 ^{b} - 2 ^{a}}{b - a}이고 기울기가 1보다 큰 경우는 2b−2ab−a>1\displaystyle \frac{2 ^{b} - 2 ^{a}}{b - a} > 1 즉, b−a<2b−2ab - a < 2 ^{b} - 2 ^{a} 기울기가 1보다 작은 경우는 2b−2ab−a<1\displaystyle \frac{2 ^{b} - 2 ^{a}}{b - a} < 1 즉, b−a>2b−2ab - a > 2 ^{b} - 2 ^{a} (거짓) ㄷ. (직선 OA\mathrm{O} A의 기울기) <(직선 OB\mathrm{O} B의 기울기)이므로 2a−1a<2b−1b\displaystyle \frac{2 ^{a} - 1}{a} < \frac{2 ^{b} - 1}{b} ∴ b(2a−1)<a(2b−1)b ( 2 ^{a} - 1 ) < a ( 2 ^{b} - 1 ) (참)

태그

#기울기#보기

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