미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 극솟값

문제

함수 $f ( x ) = xe ^{2 x} - ( 4 x + a ) e ^{x}$ 이 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{1}{2}$ 에서 극댓값을 가질 때, $f ( x )$ 의 극솟값은? (단, $a$ 는 상수이다. [4점] ① $1 - \ln 2$ ② $2 - 2 \ln 2$ ③ $3 - 3 \ln 2$ ④ $4 - 4 \ln 2$ ⑤ $5 - 5 \ln 2$

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④

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해설

$f ( x ) = xe ^{2x} - ( 4 x + a ) e ^{x}$ , $f' ( x ) = ( 2 x + 1 ) e ^{2x} - ( 4 x + a + 4 ) e ^{x}$ $\displaystyle f' \left( - \frac{1}{2} \right) = 0$ 이므로 $a = - 2$ 따라서 $f' ( x ) = ( 2 x + 1 ) e ^{x} ( e ^{x} - 2 )$ 이고 극솟값은 $f ( \ln 2 ) = 4 - 4 \ln 2$ 이다.

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