지수함수 대소 보기

ㄱ. $A ( 0 , 1 )$, $B ( \alpha , a ^{\alpha} )$, $C ( \beta , a ^{-\beta} )$라 하면 $\displaystyle f ( \sqrt{3} ) > g ( - \sqrt{3} )$이므로 성립 $\therefore \text{참}$ ㄴ. $AB$의 기울기 : $\displaystyle \frac{a ^{\alpha} - 1}{\alpha}$, $AC$의 기울기 : $\displaystyle \frac{b ^{-\beta} - 1}{\beta}$ 그런데 $\displaystyle \left| \frac{a ^{\alpha} - 1}{\alpha} \right| > \left| \frac{b ^{-\beta} - 1}{\beta} \right|$ $\displaystyle \rightarrow \frac{a ^{\alpha} - 1}{| \alpha |} > \frac{b ^{-\beta} - 1}{| \beta |}$ $\rightarrow | \beta | ( a ^{\alpha} - 1 ) > ( b ^{-\beta} - 1 ) | \alpha |$ $\displaystyle \rightarrow | \beta | a ^{\alpha} - | \alpha | \left( \frac{1}{b} \right) ^{\beta} > | \beta | - | \alpha |$ $\therefore \text{참}$ ㄷ. $\displaystyle \frac{1}{3} \alpha - \frac{2}{3} \beta$는 두 점 $( \alpha , 0 ) , ( \beta , 0 )$를 $2 : 1$로 내분하는 점의 $x$좌표이다.

그림에서 $\displaystyle \overline{PQ} < \overline{PR}$이므로 $\displaystyle g \left( \frac{1}{3} \alpha + \frac{2}{3} \beta \right) < \frac{1}{3} g ( \alpha ) + \frac{2}{3} g ( \beta )$ $\therefore \text{거짓}$