대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

$1$ 이 아닌 양수 $a$ , $b$ ( $a > b$ )에 대하여 두 함수 $f ( x ) = a ^{x}$ , $g ( x ) = b ^{x}$ 라 하자. 양수 $n$ 에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		<보 기>

	ㄱ. $f ( n ) > g ( n )$ ㄴ. $f ( n ) < g ( - n )$ 이면 $a > 1$ 이다. ㄷ. $f ( n ) = g ( - n )$ 이면 $\displaystyle f \left( \frac{1}{n} \right) = g \left( - \frac{1}{n} \right)$ 이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

$\mathrm{i} ) a > b > 1$ $\mathrm{ii} ) a > 1 > b > 0$ $\mathrm{iii} ) 1 > a > b > 0$

ㄱ. 위 그래프에서 양수 $n$ 에 대하여 항상 $a ^{n} > b ^{n}$ (참) ㄴ. $1 > a > b > 0$ 일 때 $f ( n ) < g ( - n )$ (거짓) ㄷ. $f ( n ) = g ( - n )$ 이면 $a ^{n} = b ^{- n}$ 이므로 $\displaystyle a = \frac{1}{b}$ $\displaystyle a ^{\frac{1}{n}} = \left( \frac{1}{b} \right) ^{\frac{1}{n}} = \left( b ^{- 1} \right) ^{\frac{1}{n}} = b ^{- \frac{1}{n}}$ (참)

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