대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 대칭이동

문제

좌표평면에서 곡선 $y = a ^{x}$ 을 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 곡선이 점 $( 2 , 3 )$ 을 지날 때, 양수 $a$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \sqrt{3}$ ② $\log _{2} 3$ ③ $\displaystyle \sqrt[4]{3}$ ④ $\displaystyle \sqrt[3]{2}$ ⑤ $\log _{3} 2$

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④

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고 역함수를 이용하여 지수함수의 밑을 구한다. 곡선 $y = a ^{x}$ 을 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 곡선은 $y = \log _{a} x$ 이고 이 곡선이 점 $( 2 , 3 )$ 을 지나므로 $x = 2$ , $y = 3$ 을 대입하면 $3 = \log _{a} 2$ 따라서 $\displaystyle a = \sqrt[3]{2}$ [다른 풀이] 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 곡선은 $y = a ^{x}$ 의 역함수의 그래프이므로 지수함수 $y = a ^{x}$ 에 $x = 3$ , $y = 2$ 를 대입하면 등식이 성립한다. 따라서 $2 = a ^{3}$ 에서 $\displaystyle a = \sqrt[3]{2}$

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