지수함수 최솟값

출제의도 : 지수함수의 그래프를 그 릴 수 있고, 그 성질을 이용하여 주어진 구간에서 최솟값을 구할 수 있는가? $\displaystyle f ( x ) = 2 ^{x + k} - \sqrt{2}$ $\displaystyle f ( x ) = 2 ^{x + k} - \sqrt{2}$ $y = 2 ^{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- k$만큼, $y$축의 방향으로 $\displaystyle - \sqrt{2}$만큼 평행이 동한 것이다. 이때, 함수 $y = 2 ^{x}$의 그래프는 밑 2 가 1 보다 큰 지수함수이므로 실수 전체의 집 합에서 증가한다. 즉, 함수 $y = f ( x )$의 그래프도 실수 전체 의 집합에서 증가한다. 그러므로 닫힌구간 $[ k , 2 ]$에서 함수 $f ( x )$는 $x = k$에서 최솟값을 가진다. 주어진 조건에 의하여 이 최솟값이 $\displaystyle 3 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle f ( k ) = 3 \sqrt{2}$ $\displaystyle 2 ^{k + k} - \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ $\displaystyle 2 ^{2 k} = 4 \sqrt{2} = 2 ^{2} \times 2 ^{\frac{1}{2}} = 2 ^{2 + \frac{1}{2}} = 2 ^{\frac{5}{2}}$ $\displaystyle 2 k = \frac{5}{2}$ 따라서 $\displaystyle k = \frac{5}{4}$ [참고]