대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수함수 최대최소

문제

닫힌구간 [1,3]\left[ 1 , 3 \right]에서 정의된 함수 f(x)=(12)x−a+1\displaystyle f \left( x \right) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - a} + 1의 최댓값이 55일 때, 함수 f(x)f \left( x \right)의 최솟값은? (단, aa는 상수이다.) [3점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}②22③52\displaystyle \frac{5}{2}④33⑤72\displaystyle \frac{7}{2}

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②

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기 닫힌구간 [1,3]\left[ 1 , 3 \right]에서 함수 f(x)=(12)x−a+1\displaystyle f \left( x \right) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - a} + 1은 xx의 값이 중가하면 yy의 값은 감소한다. 그러므로 함수 f(x)f \left( x \right)는 x=1x = 1에서 최댓값 55를 갖는다. (12)1−a+1=5\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{1 - a} + 1 = 5에서 2a−1=222 ^{a - 1} = 2 ^{2}, a=3a = 3 함수 f(x)f \left( x \right)는 x=3x = 3에서 최솟값을 가지므로 구하는 최솟값은 f(3)=(12)3−3+1=2\displaystyle f \left( 3 \right) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{3 - 3} + 1 = 2

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#지수함수#최대최소

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