대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수함수 아래 격자점

문제

좌표평면에서 자연수 kk에 대하여 네 부등식 x>0,y>0,y<2−x+k,x<k+12\displaystyle x > 0 , y > 0 , y < 2 ^{- x} + k , x < k + \frac{1}{2}을 모두 만족하는 영역에 있는 점 중에서 xx좌표와 yy좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 N(k)N ( k )라 하자. ∑k=110N(k)\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} N ( k )의 값은? [4점] ①5555②125125③144144④252252⑤385385

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⑤

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해설

그림과 같이 x=kx = k일 때 주어진 부등식의 영역 내에 있는 격자점의 수 N(k)N ( k )는 N(k)=∑n=1k[12n+k]=∑n=1kk=k2\displaystyle N ( k ) = \sum\limits _{n=1} ^{k} \left[ \frac{1}{2 ^{n}} + k \right] = \sum\limits _{n=1} ^{k} k = k ^{2} 이므로 ∑k=110N(k)=∑k=110k2=16⋅10⋅11⋅21=385\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{10} N ( k ) = \sum\limits _{k=1} ^{10} k ^{2} = \frac{1}{6} \cdot 10 \cdot 11 \cdot 21 = 385

태그

#격자점#가우스 기호#시그마

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