지수곡선과 삼각형

점 $\mathrm{A}$는 두 곡선 $y = 2 ^{x - 3} + 1$과 $y = 2 ^{x - 1} - 2$가 만나는 점이므로 $2 ^{x - 3} + 1$$= 2 ^{x - 1} - 2$, $3 \times 2 ^{x - 3} = 3$에서 $x = 3$ 그러므로 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\mathrm{A} ( 3 , 2 )$ 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\mathrm{B} ( \mathit{a} , 2 ^{a - 3} + 1 )$ 두 점 $\mathrm{B} , C$의 기울기가 $- 1$인 직선 위의 점이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \sqrt{2}$이므로 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\mathrm{C} ( \mathit{a} - 1 , 2 ^{a - 3} + 2 )$ 점 $\mathrm{C}$는 곡선 $y = 2 ^{x - 1} - 2$ 위의 점이므로 $2 ^{a - 3} + 2 = 2 ^{a - 2} - 2$, $2 ^{a - 3} = 4$에서 $a = 5$ 점 $\mathrm{B} ( 5 , 5 )$는 직선 $y = - x + k$ 위의 점이므로 $k = 10$ 점 $\mathrm{A} ( 3 , 2 )$와 직선 $y = - x + 10$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 3 + 2 - 10 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5}{2}$