지수곡선과 평행사변형

점 ${\mathrm{A}}$는 직선 $y = 4$가 곡선 $y = a ^{1 - x}$과 만나는 점이므로 $4 = a ^{1 - x}$에서 $x = 1 - \log _{a} 4$ 따라서 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\left( 1 - \log _{a} 4 , 4 \right)$이다. 점 ${\mathrm{B}}$는 직선 $y = 4$가 곡선 $y = 4 ^{1 - x}$과 만나는 점이므로 $4 = 4 ^{1 - x}$에서 $x = 0$ 따라서 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표는 $( 0 , 4 )$이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = - 1 + \log _{a} 4$ 점 $\mathrm{C}$는 직선 $y = k$가 곡선 $y = a ^{1 - x}$과 만나는 점이므로 $k = a ^{1 - x}$에서 $x = 1 - \log _{a} k$ 따라서 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\left( 1 - \log _{a} k , k \right)$이다. 점 ${\mathrm{D}}$는 직선 $y = k$가 곡선 $y = 4 ^{1 - x}$과 만나는 점이므로 $k = 4 ^{1 - x}$에서 $x = 1 - \log _{4} k$ 따라서 점 ${\mathrm{D}}$의 좌표는 $\left( 1 - \log _{4} k , k \right)$이다. 그러므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{DC}}} = \log _{4} k - \log _{a} k$ 사각형 ${\mathrm{ADCB}}$는 평행사변형이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = \overline{{\mathrm{DC}}}$ 따라서 $- 1 + \log _{a} 4 = \log _{4} k - \log _{a} k$, $\log _{a} 4 + \log _{a} k = \log _{4} k + 1$에서 $\log _{a} 4 k = \log _{4} 4 k$이므로 $a = 4$ 또는 $4 k = 1$ 그런데 $1 < a < 4$에서 $a \neq 4$이므로 $\displaystyle k = \frac{1}{4}$ 사각형 ${\mathrm{ADCB}}$의 넓이가 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} \times ( 4 - k ) = \left( - 1 + \log _{a} 4 \right) \times \frac{15}{4} = \frac{15}{2}$이므로 $- 1 + \log _{a} 4 = 2$ $\log _{a} 4 = 3$에서 $a ^{3} = 4$, $\displaystyle a = 4 ^{\frac{1}{3}} = 2 ^{\frac{2}{3}}$ 따라서 $\displaystyle 4 a k = 4 \times 2 ^{\frac{2}{3}} \times \frac{1}{4} = 2 ^{\frac{2}{3}}$