지수곡선과 직선

점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표를 $a$, 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 $b$라 하면 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 각각 다음과 같다. $\mathrm{A} \left( \mathit{a} , 2 ^{a} \right)$, $\mathrm{B} \left( \mathit{b} , 2 ^{b} \right)$ $\therefore$ $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B'}$$= 2 ^{b} - 2 ^{a}$ 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $1$이므로 $\displaystyle \frac{2 ^{b} - 2 ^{a}}{b - a} = 1$, $2 ^{b} - 2 ^{a} = b - a$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{M} \left( \frac{\mathit{a + b}}{2} , \frac{2 ^{a} + 2 ^{b}}{2} \right)$ 점 $\mathrm{N}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{M}$의 $x$좌표와 같고 곡선 $y = 2 ^{x}$위의 점이므로 $\displaystyle \mathrm{N} \left( \frac{\mathit{a + b}}{2} , 2 ^{\frac{a + b}{2}} \right)$ $\therefore$ $\displaystyle \overline{\mathrm{MN}}$$\displaystyle = \frac{2 ^{a} + 2 ^{b}}{2} - 2 ^{\frac{a + b}{2}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{MN}}} = \frac{1}{6} {\overline{{\mathrm{A}}' {\mathrm{B}}'}}$이므로 $\displaystyle \frac{2 ^{a} + 2 ^{b}}{2} - 2 ^{\frac{a + b}{2}}$$\displaystyle = \frac{1}{6} \left( 2 ^{b} - 2 ^{a} \right)$ 이때 $2 ^{a} = \alpha$, $2 ^{b} = \beta$로 놓으면 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} - \sqrt{\alpha \beta}$$\displaystyle = \frac{1}{6} \left( \beta - \alpha \right)$ 양변에 $6$을 곱하면 $\displaystyle 3 \alpha + 3 \beta - 6 \sqrt{\alpha \beta} = \beta - \alpha$ $\alpha > 0$, $\beta > 0$이므로 양변을 $2$로 나누고 정리하면 $\displaystyle 2 \left( \sqrt{\alpha} \right) ^{2} - 3 \sqrt{\alpha} \sqrt{\beta} + \left( \sqrt{\beta} \right) ^{2} = 0$ $\displaystyle \left( \sqrt{\alpha} - \sqrt{\beta} \right) \left( 2 \sqrt{\alpha} - \sqrt{\beta} \right) = 0$ 이때 $\alpha \ne \beta$이므로 $\displaystyle 2 \sqrt{\alpha} - \sqrt{\beta} = 0$ $\therefore$ $\beta = 4 \alpha$ $a = \log _{2} \alpha$, $b = \log _{2} \beta$이므로 ㉠을 다시 쓰면 $\beta - \alpha = \log _{2} \beta - \log _{2} \alpha$ 에서 $\beta = 4 \alpha$를 대입하면 $3 \alpha = 2$, $\displaystyle \alpha = \frac{2}{3}$ 구하는 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표는 $2 ^{b} = \beta$이므로 $\displaystyle 2 ^{b} = \beta = 4 \alpha = \frac{8}{3}$ 이다.