지수곡선과 직사각형

[출제의도] 지수함수의 그래프와 지수방정식 이해하기 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} : {\overline{PE}} = 1 : 3$이므로 점 $\mathrm{A} , C$의 좌표를 각각 $\mathrm{A} ( \mathit{a} , 0 ) , \mathrm{C} ( \mathit{4} a , 0 )$이라 하면 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $( \mathit{a} , 2 ^{a} )$이다.

$\mathrm{A} \mathit{\left( a , 0 \right)}$ $\mathrm{P} \mathit{\left( a , 2 ^{a} \right)}$ $y = 2 ^{x}$ $\mathrm{C} \mathit{\left( 4 a , 0 \right)}$ $\displaystyle 3 \sqrt{2}$

직사각형 $\mathrm{PFDB}$의 넓이는 $\displaystyle 3 \sqrt{2} a$이고 직사각형 $\mathrm{PACE}$의 넓이는 $3 a \cdot 2 ^{a}$이다. 직사각형 $\mathrm{PACE}$의 넓이는 직사각형 $\mathrm{PFDB}$의 넓이의 $2$배이므로 $\displaystyle 3 a \cdot 2 ^{a} = 3 \sqrt{2} a \times 2$, $\displaystyle 2 ^{a} = 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle \therefore a = \frac{3}{2}$ 점 $\mathrm{E}$의 $x$좌표는 $\displaystyle 4 a = 4 \times \frac{3}{2} = 6$이다. [다른풀이] $\square \mathrm{PFDB} : \square \mathrm{PACE} = 1 : 2$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} : {\overline{PE}} = 1 : 3$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} : {\overline{CE}} = 1 : \frac{2}{3}$ 이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 3 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} = \frac{2}{3} \times 3 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ 이다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( \mathit{a} , 2 ^{a} )$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} = \mathit{2} ^{a}$이므로 $\displaystyle 2 \sqrt{2} = 2 ^{a}$이고 $\displaystyle a = \frac{3}{2}$이다. 따라서 점 $\mathrm{E}$의 $x$좌표는 $\displaystyle 4 a = 4 \times \frac{3}{2} = 6$이다.