지수곡선 위 두 점과 원

곡선 $y = 2 ^{x}$ 위의 두 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$ 중 $x$좌표가 작은 점을 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$이라 하고, 중심이 직선 $y = x$ 위에 있고 두 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$을 지나는 원을 $O _{n}$이라 하자. 이 원이 곡선 $y = \log _{2} x$와 만나는 두 점을 $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$이라 하고 이 두 점 중에서 $x$좌표가 큰 점을 $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$이라 하자. 곡선 $y = 2 ^{x}$, $y = \log _{2} x$와 원 $O _{n}$, 네 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$은 다음과 같다.

이때, 함수 $y = 2 ^{x}$와 함수 $y = \log _{2} x$은 서로 역함수 관계이므로 두 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$과 $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$, 두 점 $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$과 $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$은 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$의 $x$좌표를 $\alpha _{n}$이라 하면, $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \left( \alpha _{n} , 2 ^{\alpha _{n}} \right)$, $\mathrm{C} _{\mathit{n}} \left( 2 ^{\alpha _{n}} , \alpha _{n} \right)$ 조건 (나)에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}}} = n \times \sqrt{10}$이고, 조건 (가)에서 직선 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}$의 기울기는 $3$이므로 점 $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$의 좌표는 $\mathrm{B} _{\mathit{n}} \left( \alpha _{n} + n , 2 ^{\alpha _{n}} + 3 n \right)$ 이고, 두 점 $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$과 $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$은 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 점 $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$의 좌표는 $\mathrm{D} _{\mathit{n}} \left( 2 ^{\alpha _{n}} + 3 n , \alpha _{n} + n \right)$ 이다. 또한 점 $\mathrm{B} _{\mathit{n}} \left( \alpha _{n} + n , 2 ^{\alpha _{n}} + 3 n \right)$은 곡선 $y = 2 ^{x}$ 위의 점이므로 $2 ^{\alpha _{n}} + 3 n = 2 ^{\alpha _{n} + n}$, $2 ^{\alpha _{n}} \times \left( 2 ^{n} - 1 \right) = 3 n$ $\therefore$ $\displaystyle 2 ^{\alpha _{n}} = \frac{3 n}{2 ^{n} - 1}$ 이때, 원 $O _{n}$이 곡선 $y = \log _{2} x$와 만나는 두 점 중의 $x$좌표가 큰 점이 $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$이므로 $x _{n} = 2 ^{\alpha _{n}} + 3 n$$\displaystyle = \frac{3 n}{2 ^{n} - 1} + 3 n = \frac{3 n \times 2 ^{n}}{2 ^{n} - 1}$ $\therefore$ $x _{1} + x _{2} + x _{3}$$\displaystyle = 6 + 8 + \frac{72}{7}$$\displaystyle = \frac{170}{7}$