대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수곡선 선분비

문제

그림과 같이 두 함수 $\displaystyle f \left( x \right) = \left( \frac{1}{2} \right) ^{x - 1}$ , $g \left( x \right) = 4 ^{x - 1}$ 의 그래프와 직선 $y = k$ ( $k > 2$ )가 만나는 점을 각각 $\mathrm{A} , B$ 라 하자. 점 $\mathrm{C} \mathit{\left( 0 , k \right)}$ 에 대하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} : {\overline{\mathrm{CB}}}$ $= 1 : 5$ 일 때, $k ^{3}$ 의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 식의 값 구하는 문제 해결하기

양수 $a$ 에 대하여 점 $\mathrm{A}$ 의 $x$ 좌표를 $- a$ 라 하면 점 $\mathrm{B}$ 의 $x$ 좌표는 $5 a$ 이다. 따라서 $f \left( - a \right) = g \left( 5 a \right)$ 이므로 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{- a - 1} = 4 ^{5 a - 1}$ 이다. $2 ^{a + 1} = 2 ^{10 a - 2}$ 이므로 $a + 1 = 10 a - 2$ 이고 $\displaystyle a = \frac{1}{3}$ 이다. 점 $\left( 5 a , k \right)$ 를 $y = g \left( x \right)$ 에 대입하면 $\displaystyle k = 4 ^{\frac{2}{3}}$ 이고 $k ^{3}$ $\displaystyle = \left( 4 ^{\frac{2}{3}} \right) ^{3}$ $= 4 ^{2}$ $= 16$

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