대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수곡선 삼각형 넓이 합

문제

자연수 nn에 대하여 직선 x=nx = n이 두 곡선 y=2xy = 2 ^{x}, y=2−xy = 2 ^{- x}과 만나는 점을 각각 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}, Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}이라 하자. 점 Rn(n−1,0)\mathrm{R} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} - 1 , 0 \right)에 대하여 삼각형 PnRnQn\mathrm{P} _{\mathit{n}} R _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=110Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} S _{n}의 값은? [4점] ①210−(12)10−32\displaystyle 2 ^{10} - \left( \frac{1}{2} \right) ^{10} - \frac{3}{2}②210+(12)11−32\displaystyle 2 ^{10} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{11} - \frac{3}{2}③210+(12)10+32\displaystyle 2 ^{10} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{10} + \frac{3}{2}④211−(12)10−32\displaystyle 2 ^{11} - \left( \frac{1}{2} \right) ^{10} - \frac{3}{2}⑤211−(12)11+32\displaystyle 2 ^{11} - \left( \frac{1}{2} \right) ^{11} + \frac{3}{2}

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②

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기 Sn=12×1×(2n−2−n)\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} \times 1 \times \left( 2 ^{n} - 2 ^{- n} \right) ∑n=110Sn=∑n=110(2n−1−2−n−1)\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n = 1} ^{10} S _{n} & = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \left( 2 ^{n - 1} - 2 ^{- n - 1} \right) \end{aligned} =210−12−1−14×{1−(12)10}1−12\displaystyle = \frac{2 ^{10} - 1}{2 - 1} - \frac{\frac{1}{4} \times \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{10} \right\}}{1 - \frac{1}{2}} =210−1−12+(12)11\displaystyle = 2 ^{10} - 1 - \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{11} =210+(12)11−32\displaystyle \begin{aligned} & = 2 ^{10} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{11} - \frac{3}{2} \end{aligned}

태그

#등비수열의 합#지수함수

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