지수곡선 삼각형 넓이

[출제의도] 지수함수의 그래프를 활용하여 추론하기 점 $\mathrm{A} ( \mathit{k} , 0 )$에서 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 좌표는 각각 $\mathrm{B} \left( \mathit{k} , 2 ^{k} \right)$, $\mathrm{C} \left( \mathit{k} , 4 ^{k} \right)$이다. 점 $\mathrm{D}$의 $x$좌표를 $d$라 하면, $2 ^{d} = 4 ^{k}$이므로 $d = 2 k$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = \mathit{k}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \mathit{4} ^{k} - 2 ^{k}$이므로 삼각형 $\mathrm{BDC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{k}{2} \left( 4 ^{k} - 2 ^{k} \right)$이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \mathit{k}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{2} ^{k}$이므로 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{k}{2} \times 2 ^{k}$이다. $\displaystyle \frac{k}{2} \left( 4 ^{k} - 2 ^{k} \right)$$\displaystyle = 3 \times \frac{k}{2} \times 2 ^{k}$이므로 $2 ^{k} \left( 2 ^{k} - 1 \right) = 3 \times 2 ^{k}$ 즉, $2 ^{k} - 1 = 3$에서 $k = 2$ 따라서 삼각형 $\mathrm{BDC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{2}{2} \left( 4 ^{2} - 2 ^{2} \right) = 12$