지수곡선 넓이

곡선 $y = e ^{- x}$과 직선 $y = e ^{- 4}$의 교점의 $x$좌표는 방정식 $e ^{- x} = e ^{- 4}$의 해와 같으므로 $x = 4$ 따라서 구하는 넓이는 $x = 1$부터 $x = 4$까지 곡선 $y = e ^{- x}$과 직선 $y = e ^{- 4}$으로 둘러싸인 부분이므로 넓이를 $S$라 하면 $S$$\displaystyle = \int _{1} ^{4} \left( e ^{- x} - e ^{- 4} \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - e ^{- x} - xe ^{- 4} \end{array} \right] _{1} ^{4}$ $= \left( - e ^{- 4} - 4 e ^{- 4} \right) - \left( - e ^{- 1} - e ^{- 4} \right)$ $= e ^{- 1} - 4 e ^{- 4}$ $\displaystyle = \frac{1}{e} - \frac{4}{e ^{4}}$