지수곡선 직각 조건

[출제의도] 두 직선의 수직조건과 지수함수의 그래프를 활용하여 주어진 값을 구한다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\left( 0 , 1 \right)$이다. 곡선 $y = 3 ^{x}$위의 점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 $\mathrm{Q} ( \mathit{t} , 3 )$이라 하면 $3 ^{t} = 3$, $t = 1$ $\therefore$$\mathrm{Q} ( 1 , 3 )$ 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기는 $2$이고 $\mathrm{\angle} RPQ = 90 ^\circ$이므로 직선 $\mathrm{PR}$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{1}{2}$이다. 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{R}$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x + 1$ 점 $\mathrm{R}$의 $y$좌표가 $3$이므로 점 $\mathrm{R}$의 좌표는 $\mathrm{\left( - 4 , 3 \right)}$ 또, 점 $\mathrm{R}$는 곡선 $y = a ^{x}$위의 점이므로 $3 = a ^{- 4}$, $\displaystyle \left( \frac{1}{a} \right) ^{4} = 3$ $\therefore$$\displaystyle \left( \frac{1}{a} \right) ^{16} = 3 ^{4} = 81$ [다른풀이] 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\mathrm{P} \left( 0 , 1 \right)$, $\mathrm{Q} \left( 1 , 3 \right)$이다. 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \sqrt{( 1 - 0 ) ^{2} + ( 3 - 1 ) ^{2}} = \sqrt{5}$ 곡선 $y = a ^{x}$위의 점 $\mathrm{R}$의 좌표를 $\mathrm{R} ( \mathit{b} , 3 )$이라 하면 $a ^{b} = 3$ $\cdots$(*) 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{RQ}} = \mathit{1} - b$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{RP}} = \mathit{\sqrt{( b - 0 ) ^{2} + ( 3 - 1 ) ^{2}}} = \sqrt{b ^{2} + 4}$이다. 삼각형 $\mathrm{PQR}$는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{RQ}} ^{2} = \overline{PQ} ^{2} + \overline{RP} ^{2}$ $( 1 - b ) ^{2} = 5 + \left( b ^{2} + 4 \right)$ $1 - 2 b + b ^{2} = b ^{2} + 9$ $2 b = - 8$ $\therefore$$b = - 4$ $b = - 4$를 (*)에 대입하면 $a ^{- 4} = 3$ $\therefore$$\displaystyle \left( \frac{1}{a} \right) ^{16} = 81$