지수곡선 점 정사각형

[출제의도]주어진 조건을 만족시키는 수열의 일반항을 추론할 수 있는가? (i) $n = 1$일 때 세 점 $( 1 , 2 ^{1} ) , ( 2 , 2 ^{2} ) , ( 3 , 2 ^{3} )$이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로 $a _{1} = 2 \times ( 2 ^{3} - 2 ^{1} ) = 12$ (ii) $n = 2$일 때 세 점 $( 1 , 2 ^{1} ) , ( 2 , 2 ^{2} ) , ( 3 , 2 ^{3} )$이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로 $a _{2} = 2 \times ( 2 ^{3} - 2 ^{2} ) = 8$ (iii) $n \geq 3$일 때 세 점 $( n - 2 , 2 ^{n-2} ) , ( n - 1 , 2 ^{n-1} ) , ( n , 2 ^{n} )$이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우이므로 $a _{n} = 2 \times ( 2 ^{n} - 2 ^{n-2} ) = 3 \times 2 ^{n-1}$ (i), (ii), (iii)에서 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{7} a _{k} = 12 + 8 + 3 ( 2 ^{2} + 2 ^{3} + \cdots + 2 ^{6} )$ $\displaystyle = 20 + 3 \times \frac{2 ^{2} ( 2 ^{5} - 1 )}{2 - 1} = 20 + 12 \times 31 = 392$ <참고> 위의 풀이의 (iii)에서 세 점 $( n - 1 , 2 ^{n-1} ) , ( n , 2 ^{n} ) , ( n + 1 , 2 ^{n+1} )$이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우에는 점 $( n - 2 , 2 ^{n-2} )$도 이 정사각형의 내부에 포함되므로 조건을 만족시키지 않는다. 마찬가지로, 세 점 $( n , 2 ^{n} ) , ( n + 1 , 2 ^{n+1} ) , ( n + 2 , 2 ^{n+2} )$이 정사각형과 그 내부에 포함되는 경우도 조건을 만족시키지 않는다.