지수곡선 회전체 부피

$y = e ^{-x}$위의 점 $( - 1 , e )$에서의 접선의 방정식은 $y' = - e ^{-x}$이므로 $y = - e ( x + 1 ) + e = - ex$이다. ∴ $\mathrm{Q}$$\left( 0 , 0 \right)$ 따라서 점 $\mathrm{Q}$를 지나고 접선 $l$에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{x}{e}$이다. $\displaystyle \frac{x}{e} = e ^{-x}$에서 $x = e ^{1-x}$ $x = 1$일 때 주어진 등식이 성립하므로 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 1 , \frac{1}{e} \right)$

위 그림에서 구하는 부피 $V$는 $V$$\displaystyle = \pi \int _{-1} ^{1} ( e ^{-x} ) ^{2} dx - \pi \int _{-1} ^{0} ( - ex ) ^{2} dx - \pi \int _{0} ^{1} \left( \frac{x}{e} \right) ^{2} dx$ $\displaystyle = \pi \left\{ \left[ - \frac{1}{2} e ^{-2x} \right] _{-1} ^{1} - \left[ \frac{e ^{2}}{3} x ^{3} \right] _{-1} ^{0} - \left[ \frac{1}{3 e ^{2}} x ^{3} \right] _{0} ^{1} \right\}$ $\displaystyle = \pi \left\{ \left( - \frac{1}{2} e ^{-2} + \frac{1}{2} e ^{2} \right) - \frac{e ^{2}}{3} - \frac{1}{3 e ^{2}} \right\}$ $\displaystyle = \pi \left( \frac{e ^{2}}{6} - \frac{5}{6 e ^{2}} \right)$