지수곡선 보기

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 추론하기 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$의 좌표는 각각 ${\mathrm{A}} \left( \log _{2} a , a \right)$, $\displaystyle {\mathrm{B}} \left( \log _{\frac{1}{4}} a , a \right)$, $\displaystyle {\mathrm{C}} \left( \log _{2} \frac{1}{b} , \frac{1}{b} \right)$, $\displaystyle {\mathrm{D}} \left( \log _{\frac{1}{4}} \frac{1}{b} , \frac{1}{b} \right)$이다. ㄱ. $a = b$이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \log _{2} a - \log _{\frac{1}{4}} a = \frac{3}{2} \log _{2} a$ $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = \log _{\frac{1}{4}} \frac{1}{a} - \log _{2} \frac{1}{a} = \frac{3}{2} \log _{2} a$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{CD}}$ (참) ㄴ. $\displaystyle m _{1} = \frac{a - \frac{1}{b}}{\log _{2} a - \log _{2} \frac{1}{b}} = \frac{a - \frac{1}{b}}{\log _{2} ab}$이므로 $m _{2}$$\displaystyle = \frac{a - \frac{1}{b}}{\log _{\frac{1}{4}} a - \log _{\frac{1}{4}} \frac{1}{b}}$$\displaystyle = \frac{a - \frac{1}{b}}{\log _{\frac{1}{4}} ab}$$\displaystyle = - 2 \times \frac{a - \frac{1}{b}}{\log _{2} ab}$$= - 2 m _{1}$ 그러므로 $2 m _{1} + m _{2} = 0$ (참) ㄷ. 직선 $\mathrm{AC}$의 기울기를 $m$ $\left( m > 0 \right)$이라 하면 직선 $\mathrm{BD}$의 기울기는 $- 2 m$이고, 직선 $\mathrm{AC}$와 직선 $\mathrm{BD}$가 서로 수직이므로 $m {\times} \left( - 2 m \right) = - 1$, $\displaystyle m ^{2} = \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle \frac{a - \frac{1}{b}}{\log _{2} ab} = \frac{\sqrt{2}}{2}$이므로 $\displaystyle a - \frac{1}{b} = \frac{\sqrt{2}}{2} \log _{2} ab$ $\cdots$ ㉠ 직선 $\mathrm{AD}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{a - \frac{1}{b}}{\log _{2} a - \log _{\frac{1}{4}} \frac{1}{b}} = \frac{a - \frac{1}{b}}{\log _{2} a - \frac{1}{2} \log _{2} b} = 2 \sqrt{2}$ 이므로 $\displaystyle a - \frac{1}{b} = \sqrt{2} \log _{2} \frac{a ^{2}}{b}$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의해 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \log _{2} ab = \sqrt{2} \log _{2} \frac{a ^{2}}{b}$ $\displaystyle \log _{2} ab = \log _{2} \frac{a ^{4}}{b ^{2}}$ $a ^{3} = b ^{3}$에서 $a = b$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{CD}}$ 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 평행사변형이고 두 대각선 $\mathrm{AC}$, $\mathrm{BD}$가 서로 수직이므로 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 마름모이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ