지수부등식과 구간별 함수

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 지수함수가 포함된 부등식 문제 해결하기 $2 ^{f \left( x \right)} \leq 4 ^{x} = 2 ^{2 x}$에서 밑이 $1$보다 크므로 $f \left( x \right) \leq 2 x$이다. 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = 2 x$의 교점의 $x$좌표를 구하자.

$y = f \left( x \right)$ $y = 2 x$ $\displaystyle \frac{6}{5}$

(ⅰ) $x < 3$일 때, $- 3 x + 6 = 2 x$에서 $\displaystyle x = \frac{6}{5}$ (ⅱ) $x \geq 3$일 때, $3 x - 12 = 2 x$에서 $x = 12$ (ⅰ), (ⅱ)에 의해 부등식 $f \left( x \right) \leq 2 x$의 해는 $\displaystyle \frac{6}{5} \leq x \leq 12$이므로 실수 $x$의 최댓값 $M$은 $12$이고 최솟값 $m$은 $\displaystyle \frac{6}{5}$이다. 따라서 $\displaystyle M + m = 12 + \frac{6}{5} = \frac{66}{5}$이고 $p + q = 71$이다.