지수부등식 항상 성립

$2 ^{2 x} = t ( > 0 )$이라하면 부등식 $\displaystyle 2 ^{4 x} + a \cdot 2 ^{2 x - 1} + 10 > \frac{3}{4} a$은 $\displaystyle t ^{2} + \frac{a}{2} t + 10 - \frac{3}{4} a > 0$이고 $t > 0$인 모든 실수에 대하여 부등식이 성립하면 된다. $\displaystyle f ( t ) = t ^{2} + \frac{a}{2} t + 10 - \frac{3}{4} a$라 하면 대칭축이 $\displaystyle t = - \frac{a}{4}$로 음수이므로 $f ( 0 ) \geq 0$이면 부등식이 성립하므로 $\displaystyle 10 - \frac{3}{4} a \geq 0$ $\displaystyle \therefore a \leq \frac{40}{3}$ 그러므로 조건에 만족하는 자연수$a$의 최댓값은 $13$이다.