대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수방정식 정수해

문제

$x$ 에 대한 방정식 $2 ^{x + 3} - 2 ^{x} = n$ 이 정수인 해를 갖도록 하는 모든 두 자리 자연수 $n$ 의 값의 합을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 지수방정식의 해를 구한다. 방정식 $2 ^{x+3} - 2 ^{x} = n$ 에서 $7 \cdot 2 ^{x} = n$ 주어진 방정식이 정수인 해를 갖기 위해서는 $n = 7 \cdot 2 ^{k}$ ( $k$ 는 음이 아닌 정수)의 꼴이어야 한다. 이 조건을 만족하는 두 자리 자연수는 $14 , 28 , 56$ 이므로 모든 두 자리 자연수 $n$ 의 값의 합은 $14 + 28 + 56 = 98$

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