대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수방정식 한 근

문제

$x$ 에 대한 방정식 $4 ^{x} - k \times 2 ^{x + 1} + 16 = 0$ 이 오직 하나의 실근 $\alpha$ 를 가질 때, $k + \alpha$ 의 값은? (단, $k$ 는 상수이다.) [3점] ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$

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④

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해설

[출제의도] 지수에 미지수가 포함된 방정식을 이해한다. $2 ^{x} = t$ ( $t > 0$ )이라 하면 방정식 $t ^{2} - 2 kt + 16 = 0$ 에서 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은 양수이므로 방정식 $t ^{2} - 2 kt + 16 = 0$ 은 양수인 중근을 갖는다. 이 방정식의 판별식을 $D$ 라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4}$ $= \left( - k \right) ^{2} - 16$ $= k ^{2} - 16$ $= ( k - 4 ) ( k + 4 )$ $= 0$ 두 근의 합이 양수이므로 $k = 4$ $2 ^{x} = 4$ $= 2 ^{2}$ 에서 $\alpha = 2$ 이므로 $k + \alpha = 6$

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