대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수방정식 두 양근 조건

문제

지수방정식 22x−(a+6)2x−2a(a−6)=02 ^{2x} - ( a + 6 ) 2 ^{x} - 2 a ( a - 6 ) = 0의 서로 다른 두 근이 모두 양수가 되도록 하는 정수 aa의 개수는? [4점] ①11②33③55④77⑤99

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②

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해설

[출제의도] 지수방정식의 문제 해결하기 서로 다른 두 근이 모두 양수이므로 2x=t2 ^{x} = t라 하면 t>1t > 1이다. t2−(a+6)t−2a(a−6)=0t ^{2} - ( a + 6 ) t - 2 a ( a - 6 ) = 0 (t−2a)(t+a−6)=0( t - 2 a ) ( t + a - 6 ) = 0에서 t=2at = 2 a 또는 −a+6- a + 6 2a>12 a > 1, −a+6>1- a + 6 > 1, 2a≠−a+62 a \ne - a + 6이므로 a≠2a \ne 2이고 12<a<5\displaystyle \frac{1}{2} < a < 5 그러므로 정수 aa는 1,3,41 , 3 , 4이므로 33개다.

태그

#지수방정식#치환#근의 조건

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