지수 연립방정식의 모든 해의 합

$2 ^{x} = X , 2 ^{y} = Y$ (단, $X > 0 , Y > 0$) 로 놓으면 주어진 식은 다음과 같다. $X ^{2} = 8 X - 2 Y \cdots$(1) $Y ^{2} = 8 Y - 2 X \cdots$(2) 그러므로 $X ^{2} + Y ^{2} = 6 ( X + Y ) \cdots$(3) $X ^{2} - Y ^{2} = 10 ( X - Y ) \cdots$(4) 1) $X = Y$인 경우 : 식 (3)에 의해 $X ^{2} - 6 X = X ( X - 6 ) = 0$ $X = 2 ^{x} = 6 , Y = 2 ^{y} = 6$($\because X > 0 , Y > 0$) $\therefore ( x , y ) = ( \log _{2} 6 , \log _{2} 6 )$ 2) $X \ne Y$인 경우: 식 (4)에 의해 $X + Y = 10 \cdots$(5) 식 (3)을 이용하면 $X ^{2} + Y ^{2} = ( X + Y ) ^{2} - 2 XY = 10 ^{2} - 2 XY = 6 \cdot 10$ $\therefore XY = 20 \cdots$(6) 식 (5)와 (6)으로부터 $\displaystyle X = 2 ^{x} = 5 \pm \sqrt{5 ,} Y = 2 ^{y} = 5 \mp \sqrt{5}$ $\displaystyle \therefore ( x , y ) = ( \log _{2} ( 5 + \sqrt{5} ) , \log _{2} ( 5 - \sqrt{5} ) )$ $\displaystyle = ( \log _{2} ( 5 - \sqrt{5} ) , \log _{2} ( 5 + \sqrt{5} ) )$ $\displaystyle \left[ \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} a _{k} \right] = \left[ \log _{2} 6 + \log _{2} ( 5 - \sqrt{5} ) + \log _{2} ( 5 + \sqrt{5} ) \right]$ $= \left[ \log _{2} 120 \right]$ $= 6$