대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수 연립방정식 해의 조건

문제

$x , y$ 에 대한 연립방정식 $\displaystyle \begin{cases} 2 ^{x + 3} - 3 ^{y - 1} = k \\ 2 ^{x - 1} + 3 ^{y + 2} = 2 \end{cases}$ 가 근을 갖기 위한 정수 $k$ 의 최댓값은? [3점] ① $25$ ② $27$ ③ $29$ ④ $31$ ⑤ $33$

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④

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해설

[출제의도] 지수방정식을 이용하여 문제 해결하기 $2 ^{x} = X , 3 ^{y} = Y$ 로 치환하자. 연립방정식 $\begin{cases} 8 X - \frac{1}{3} Y = k \cdot \cdot \cdot \text{①} \\ \frac{1}{2} X + 9 Y = 2 \cdot \cdot \cdot \text{ ②} \end{cases}$ 가 $X > 0$ , $Y > 0$ 인 근을 가지려면 ①의 직선이 ②의 직선의 $X$ 축과의 교점인 $( 4 , 0 )$ 을 지날 때의 $k$ 값보다 작아야 하므로 $k$ 의 최댓값은 $31$ 이다.

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