지수 연립방정식

[출제의도] 로그방정식 이해하기 $\displaystyle {\begin{cases} x ^{2} = y ^{3} \\ x ^{y} = y ^{x} \end{cases}}$ 두 식의 양변에 상용로그를 취하면 $2 \log x = 3 \log y$……㉠ $y \log x = x \log y$……㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \frac{2 \log x}{y \log x} = \frac{3 \log y}{x \log y}$ 따라서 $\displaystyle \frac{2}{y} = \frac{3}{x}$이므로 $2 x = 3 y$ 이다. 이 식을 $x ^{2} = y ^{3}$에 대입하면 $\displaystyle x ^{2} = \left( \frac{2}{3} x \right) ^{3}$ $\displaystyle x ^{2} = \frac{8}{27} x ^{3}$ 이다. 따라서 $\displaystyle x = \frac{27}{8}$이고 $2 x = 3 y$에 대입하면 $\displaystyle y = \frac{9}{4}$이다. 그러므로 $16 ( \alpha + \beta )$$= 90$이다. [다른풀이] $x ^{2} = y ^{3}$에서 $\displaystyle y = x ^{\frac{2}{3}}$ 이 식을 $x ^{y} = y ^{x}$에 대입하여 정리하면 $\displaystyle x ^{x ^{\frac{2}{3}}} = x ^{\frac{2}{3} x}$ 이다. $x > 1$이므로 $\displaystyle x ^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} x$ 이다. 양변을 세제곱하면 $\displaystyle x ^{2} = \frac{8}{27} x ^{3}$ 이다. 따라서 $\displaystyle x = \frac{27}{8}$이고 $\displaystyle y = x ^{\frac{2}{3}}$에 대입하면 $\displaystyle y = \frac{9}{4}$이다. 그러므로 $16 \left( \alpha + \beta \right) = 90$이다.