대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수 연립방정식

문제

연립방정식 $\displaystyle \begin{cases} 2 ^{x} ( 2 ^{x} + 2 ^{y} ) = 192 \\ 2 ^{y} ( 2 ^{x} + 2 ^{y} ) = 384 \end{cases}$ 를 만족시키는 $x$ , $y$ 에 대하여 $2 ^{x + y}$ 의 값을 구하시오. [3점]

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128

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[출제의도] 지수방정식의 해 구하기 $2 ^{x} = X$ , $2 ^{y} = Y$ 라 하면 $X ( X + Y ) = 192 \cdots \text{①}$ $Y ( X + Y ) = 384 \cdots \text{ ②}$ $\text{ ①} \div \text{ ②} $를 하면$ \frac{X}{Y} = \frac{1}{2}$, $Y = 2 X$ 를 ①에 대입하면 $3 X ^{2} = 192$ $X = 8 , Y = 16$ $\therefore 2 ^{x + y} = 2 ^{x} \cdot 2 ^{y} = 8 \times 16 = 128$

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