지수 산술기하 최솟값

[출제의도] 수열의 성질 이해하기 $\displaystyle x ^{\frac{1}{\alpha}} = y ^{- \frac{1}{\beta}} = z ^{\frac{2}{\gamma}} = k$라고 하면, $x = k ^{\alpha}$, $y ^{- 1} = k ^{\beta}$, $z ^{2} = k ^{\gamma}$ 이고 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$가 등차수열이면 $k ^{\alpha} , k ^{\beta} , k ^{\gamma}$가 등비수열이므로 $( k ^{\beta} ) ^{2} = k ^{\alpha} k ^{\gamma}$ $\therefore ( y ^{-1} ) ^{2} = xz ^{2}$ $\displaystyle \frac{1}{y ^{2}} = xz ^{2}$ $\displaystyle \therefore 16 xz ^{2} + 9 y ^{2} = \frac{16}{y ^{2}} + 9 y ^{2}$$\displaystyle \geq 2 \sqrt{\frac{16}{y ^{2}} \cdot 9 y ^{2}} = 24$ (단, 등호는 $\displaystyle y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$, $\displaystyle xz ^{2} = \frac{3}{4}$일 때 성립한다.) $\therefore$$16 xz ^{2} + 9 y ^{2}$의 최솟값은 $24$