지수·로그함수와 정삼각형

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이용하여 문제 해결하기 $\mathrm{A} \mathit{(} 2 , a ^{2} )$에 대하여 $\mathrm{\triangle} OAB$가 정삼각형이 되도록 하는 점 $\mathrm{B}$는 $\mathrm{B} ( \mathit{a} ^{2} , 2 )$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} ^{2} = \overline{AB} ^{2}$이다. 즉, $a ^{4} + 1 = 2 ( a ^{2} - 2 ) ^{2}$에서 $a ^{4} - 8 a ^{2} + 4 = 0$ $a ^{2} = t$라 하면 $t ^{2} - 8 t + 4 = 0$에서 $\displaystyle t = 4 \pm 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle a ^{2} = 4 \pm 2 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle a = \sqrt{4 \pm 2 \sqrt{3}} = \sqrt{3} \pm 1$ 따라서 $\displaystyle a = \sqrt{3} + 1$ ($a > 1$)