지수·로그 사이 격자점 개수

$y = 2 ^{x} - n$과 $y = \log _{2} ( x + n )$은 서로 역함수 관계에 있으므로 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.

$a _{n}$은 $- n < x$이고 $2 ^{x} - n \leq x$를 만족시키는 정수 $x$의 개수이다. $n = k$일 때 만족하는 $x$는 $- k + 1 , - k + 2 , \cdots , - 1 , 0$까지의 $k$개와 $2 ^{x} - x \leq k$를 만족시키는 자연수 $x$가 있다. 이때, $2 ^{1} - 1 = 1$, $2 ^{2} - 2 = 2$, $2 ^{3} - 3 = 5$, $2 ^{4} - 4 = 12$,, $2 ^{5} - 5 = 27$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{30} a _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{30} k + ( 2 - 1 ) \times 1 + ( 5 - 2 ) \times 2$ $+ ( 12 - 5 ) \times 3 + ( 27 - 12 ) \times 4$$+ ( 30 - 27 + 1 ) \times 5$ $= 573$ [다른 풀이]

$a _{n}$은 $2 ^{x} - n \leq x \leq \log _{2} ( x + n )$을 만족하는 정수의 개수이다. 두 함수 $f ( x ) = 2 ^{x} - n , g ( x ) = \log _{2} ( x + n )$이라 놓으면 $f ( x ) , g ( x )$는 증가함수이고 서로 역함수이다. 위 그림에서 $2 ^{x} - n \leq x$를 만족하는 정수 $x$의 개수를 구하면 된다. ⅰ) $x < 0$일 때 $- n < 2 ^{x} - n \leq 1 - n$이므로 $- n + 1 \leq x \leq 0$이면 주어진 조건을 만족한다. ($n$개 존재) ⅱ) $x > 0$일 때 $2 ^{x} - x \leq n$을 만족하는 양수 $x$를 구하면 된다. $h ( x ) = 2 ^{x} - x$라 하면 $h ( 1 ) = 1 , h ( 2 ) = 2 , h ( 3 ) = 5 , h ( 4 ) = 12$, $h ( 5 ) = 27$, $h ( 6 ) = 58$이므로 $n = 1$일 때 $x = 1$ $n = 2 , 3 , 4$일 때 $x = 1 , 2$ $n = 5 , 6 , \cdots , 11$일 때 $x = 1 , 2 , 3$ $n = 12 , 13 , \cdots , 26$일 때, $x = 1 , 2 , 3 , 4$ $n = 27 , 28 , 29 , 30$일 때 $x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5$ 따라서 ⅰ), ⅱ)에서 $n = 1$이면 $a _{n} = n + 1$ $n = 2 , 3 , 4$이면 $a _{n} = n + 2$ $n = 5 , 6 , \cdots , 11$이면 $a _{n} = n + 3$ $n = 12 , 13 , \cdots , 26$이면 $a _{n} = n + 4$ $n = 27 , 28 , 29 , 30$이면 $a _{n} = n + 5$ $\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{30} a _{n}$$\displaystyle = \left( \sum\limits _{n = 1} ^{30} n \right) + ( 1 \times 1 ) + ( 3 \times 2 ) + ( 7 \times 3 ) + ( 15 \times 4 ) + ( 4 \times 5 )$ $= 465 + 108 = 573$