대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수 로그 조건

문제

네 양수 $a$ , $b$ , $c$ , $k$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $k ^{2}$ 의 값을 구하시오. [4점]

(가) $3 ^{a} = 5 ^{b} = k ^{c}$ (나) $\log c = \log ( 2 ab ) - \log ( 2 a + b )$

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해설

$3 ^{a} = 5 ^{b} = k ^{c} = X$ 라고 하면 $\displaystyle 3 = X ^{\frac{1}{a}} , 5 = X ^{\frac{1}{b}} , k = X ^{\frac{1}{c}}$ 이다. 한편 주어진 조건에서 $\displaystyle \frac{1}{c} = \frac{1}{2 a} + \frac{1}{b}$ 이므로 $\displaystyle X ^{\frac{1}{c}} = X ^{\frac{1}{2 a} + \frac{1}{b}} = X ^{\frac{1}{2 a}} X ^{\frac{1}{b}}$ 이다. 즉, $\displaystyle k = \sqrt{3} \times 5$ 이다. 따라서 $k ^{2} = 75$

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