지수·로그 함수와 실근의 개수

[출제의도] 지수함수의 그래프와 로그함수의 그래프를 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 모든 자연수의 값의 합을 구할 수 있는가? 함수 $y = 3 ^{x+2} - n$의 그래프는 함수 $y = 3 ^{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- 2$만큼, $y$축의 방향으로 $- n$만큼 평행이동한 그래프이다. 함수 $y = \left| 3 ^{x+2} - n \right|$의 그래프는 점 $\left( 0 , \left| 9 - n \right| \right)$을 지나고 점근선의 방정식은 $y = n$이다. $x < 0$일 때, 자연수 $n$의 값에 따른 함수 $y = \left| 3 ^{x+2} - n \right|$의 그래프는 다음과 같다. $1 \leq n < 9$일 때,

$n = 9$일 때,

$n > 9$일 때,

또, 함수 $y = \log _{2} \left( x + 4 \right) - n$의 그래프는 함수 $y = \log _{2} x$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- 4$만큼, $y$축의 방향으로 $- n$만큼 평행이동한 그래프이다. 함수 $y = \left| \log _{2} \left( x + 4 \right) - n \right|$의 그래프는 점 $\left( 0 , \left| 2 - n \right| \right)$을 지나고 점근선의 방정식은 $x = \mathit{-} 4$이다. $x \geq 0$일 때, 자연수 $n$의 값에 따른 함수 $y = \left| \log _{2} \left( x + 4 \right) - n \right|$의 그래프는 다음과 같다. $n = 1$일 때,

$n = 2$일 때,

$n > 2$일 때,

$x$에 대한 방정식 $f \left( x \right) = t$의 서로 다른 실근의 개수 $g \left( t \right)$는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 점의 개수와 같다.

함수 $g \left( t \right)$의 최댓값이 $4$이므로 $9 - n > 0$이고 $2 - n < 0$이어야 한다. 즉, $2 < n < 9$이다. 따라서 자연수 $n$의 값은 $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ 이고, 그 합은 $3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33$ 이다.